Paradoxe Statistiken #4 – Kuchenauswahl

Otto ist ein Stammgast in einem kleinen Café und isst dort regelmäßig Torte, so auch am Ostersonntag. Dabei ergibt sich folgende Diskussion.
Otto: „Es gibt wahrscheinlich wieder Apfeltorte und Bienenstich, oder? Dann nehme ich Apfeltorte.“
Bedienung: „Gern. Wegen des Feiertags haben wir heute aber zusätzlich auch die Schwarzwälder Kirschtorte im Angebot.“
Otto: „Ach, wenn das so ist, dann nehme ich den Bienenstich.“

Die Bedienung nimmt die Bestellung mit leichter Verwunderung auf. Wieso hat sich Otto bei einer dritten Torte in der Auswahl für den Bienenstich entschieden, den er vorher nicht haben wollte? Es muss natürlich eine spontane Bauchentscheidung gewesen sein, denn rational kann das ja nicht sein. Oder vielleicht doch?
Otto ist nämlich Statistiker und hat sich ein ausgeklügeltes System zur Entscheidung für eine Torte überlegt: Da er Stammgast in seinem Lieblingscafé ist, weiß er sehr genau, dass die Qualität der Torten stark schwankt. Die Apfeltorte ist zwar nicht besonders gut, aber immer konstant akzeptabel. Der Bienenstich ist in 40 Prozent der Fälle hervorragend, ansonsten aber leider wenig genießbar. Die Schwarzwälder Kirschtorte ist in 50 Prozent der Fälle zwar nicht hervorragend, aber zumindest gut, ansonsten aber leider ebenfalls wenig genießbar.

Otto wählt nun immer die Sorte, bei der er mit größter Wahrscheinlichkeit die Torte mit der besseren Qualität bekommt. Wenn also nur Apfeltorte und Bienenstich zur Auswahl stehen, dann erhält er beim Bienenstich nur in 4 von 10 Fällen (40 Prozent) eine bessere Qualität als bei der Apfeltorte. Bei den anderen 6 von 10 Fällen (60 Prozent) gefällt ihm Apfeltorte besser, so dass er sich ganz rational für diese entscheidet.
Steht nun allerdings auch die Schwarzwälder Kirschtorte zur Auswahl, passiert folgendes: In 4 von 10 Fällen (40 Prozent) bleibt der Bienenstich der Favorit, weil er besser als die beiden anderen Torten ist. In den anderen 6 von 10 Fällen ist nun entweder die Apfeltorte oder die Schwarzwälder Kirschtorte besser, konkret ist in der Hälfte dieser 6 Fälle – also mit insgesamt 30 Prozent Wahrscheinlichkeit – die Schwarzwälder Kirschtorte besser als die Apfeltorte, d.h. Otto würde diese auswählen. So bleibt nur in den verbleibenden 3 von 10 Fällen (30 Prozent) die Apfeltorte besser als die beiden anderen Wahlmöglichkeiten. Ottos Wahl sollte nun also durch die zusätzliche Auswahl tatsächlich auf den Bie- nenstich fallen, er handelt vollkommen rational, auch wenn die Bedienung ihn für wankelmütig hält.

Über die Autoren

Die Brüder Björn Christensen, Professor für Statistik und Mathematik am Fachbereich Wirtschaft der Fachhochschule Kiel, und Sören Christensen, Professor für Stochastik am Mathematischen Seminar der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel, beschäftigen sich seit vielen Jahren mit Alltagsphänomenen der Statistik, insbesondere Meldungen aus den Medien. Seit 2012 begeistern sie mit ihrer wöchentlichen Kolumne zu mathematischen Fragestellungen und insbesondere zur Statistik die Leser des Schleswig-Holstein Journals, der Wochenendbeilage der sh:z-Tageszeitungen. Daraus ist eine Sammlung an Kolumnen zu Paradoxa aus dem Bereich der Statistik entstanden, die häufig bemerkenswerte Fehlschlüsse offenbaren. Einige Paradoxa sind schlicht erstaunlich und regen an, darüber nachzudenken. Andere haben einen direkten Bezug zu Alltagsphänomen und können helfen, diese besser einzuordnen.

Beitragsbild: Jason Goh auf Pixabay