Paradoxe Statistiken #1 – Das Geschwister-Paradoxon

Die Brüder Björn Christensen, Professor für Statistik und Mathematik am Fachbereich Wirtschaft der Fachhochschule Kiel, und Sören Christensen, Professor für Stochastik am Mathematischen Seminar der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel, beschäftigen sich seit vielen Jahren mit Alltagsphänomenen der Statistik.

Seit 2012 begeistern sie mit ihrer wöchentlichen Kolumne zu mathematischen Fragestellungen und insbesondere zur Statistik die Leser*innen des Schleswig-Holstein Journals, der Wochenendbeilage der sh:z-Tageszeitungen.
Daraus ist eine Sammlung an Kolumnen zu Paradoxa aus dem Bereich der Statistik entstanden, die häufig bemerkenswerte Fehlschlüsse offenbaren.
Einige Paradoxa sind schlicht erstaunlich und regen an, darüber nachzudenken. Andere haben einen direkten Bezug zu Alltagsphänomen und können helfen, diese besser einzuordnen.

Das Geschwister-Paradoxon

Sara kann es kaum abwarten: Sie nimmt an einem Schüleraustausch teil und wird ab morgen ein ganzes Jahr weit weg von zu Hause verbringen. Die Koffer sind schon gepackt. Sie weiß aber bisher noch nicht viel über ihre Gastfamilie, da sie noch keinen direkten Kontakt hatte. Die Austauschorganisation hat ihr nur mitgeteilt, dass die Familie zwei Kinder hat. Außerdem weiß sie, dass die Austauschorganisation stets darauf achtet, dass in den Gastfamilien von Austauschschülerinnen mindestens ein Mädchen wohnt. Es kann Sara also nicht passieren, dass beide Gastgeschwister Jungen sind.

Im Kopf spielt sie ihre Ankunft schon vor ihrem Abflug immer wieder durch. Was für ein Zimmer wird sie bekommen? Wie wird ihre Schule aussehen? Vor allem über die Gastgeschwister macht sie sich viele Gedanken. Werden es wohl zwei Mädchen sein oder wird sie auch einen Gastbruder haben? Das kann sie natürlich jetzt noch nicht wissen. Beim Abendessen merkt ihr Vater dazu an, dass man ja aus der Information über das Geschlecht des einen Kindes („mindestens ein Mädchen“) noch lange nichts über das Geschlecht des anderen Kindes aussagen kann und es damit gleichwahrscheinlich ist, dass beide Gastgeschwister Mädchen sind oder es sich um ein Mädchen und einen Jungen handelt. Dies kommt Sara im ersten Moment plausibel vor. Abends denkt sie aber noch einmal darüber nach und fragt sich, ob ihr vielleicht Statistik bei der Frage helfen könnte. Denn ganz überzeugend wirkt ihr das Argument des Vaters nun doch nicht mehr. Schließlich weiß sie ja nicht, welches der beiden Kinder (das jüngere, das ältere) ein Mädchen ist, sondern nur, dass mindestens eines von beiden ein Mädchen ist.

Sie fängt selbst an zu rechnen: In einer Familie mit zwei Kindern gibt es vier mögliche Geschlechterkonstellationen: JJ, JM, MJ, MM, wobei J für Junge und M für Mädchen steht und die Kinder nach ihrem Alter geordnet sind. All diese Kombinationen sind (annähernd) gleich wahrscheinlich. Nun weiß sie aber, dass die Kombination JJ nicht vorliegt, also bleiben die drei Möglichkeiten JM, MJ und MM. In zwei von diesen drei Fällen lebt neben einem Mädchen noch ein Junge in der Familie, nur in einem der drei Fälle ein zweites Mädchen. Es ist also tatsächlich unwahrscheinlicher, dass beide Gastgeschwister Mädchen sind. Beim Einschlafen stellt Sara sich daraufhin schon ein- mal ihre Gastfamilie mit einem Gastbruder und einer Gastschwester vor. Ob es wirklich so kommen wird, kann sie dann ja am nächsten Tag erfahren.

 Beitragsbild: Joshua Choate auf Pixabay